Cerebros matemáticos: Fibonacci y Gödel

Donde hay un patrón existe una razón

Douglas Hofstadter

Asi piensa un matemático:

Si es demostrable es verdadero o lo que es lo mismo:

«Es verdadero porque es demostrable».

O:

Si es indemostrable es falso o lo que es lo mismo:

«Es falso porque es indemostrable».

Asi estaban las cosas hasta que llegó Kurt Gödel abriendo una grieta en los Principia Matematica de Russell y Whitehead a través del siguiente principio:

Es verdadero y es indemostrable y más allá de eso:

Es indemostrable (precisamente)  porque es verdadero.

Para entender a Gödel es necesario ir más allá de las matemáticas (de la lógica matemática) y adentrarse en la filosofía y en la lingüistica. La mejor forma es visitar esta web que me parece de las mejores y donde se explican las ideas godelianas de forma comprensible para el publico en general. Aqui hay otra explicación igualmente clara.

En honor a Gödel llamamos «bucle godeliano» a cuaquier bucle, es decir algo que posee realimentación y que además es recursivo, los nuevos elementos de una serie nacen a partir de otros predefinidos que llamaremos semillas o axiomas.

La serie Fibonacci es otra de esa curiosidades matemáticas que se constituyen de forma recursiva pues cada nuevo elemento se forma sumando los dos anteriores, cada numero Fibonacci contiene no pocos misterios:

1,1,2,3,5,8, 13, 21, etc

¿Encuentras algun patrón en esa sucesión?

A primera vista parece que los números no tienen nada que ver entre sí, pero:

• La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.
• En el reino vegetal su aparición más llamativa en la implantación espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra en sentido antihorario, formados por dos términos consecutivos de la conocida serie.
• El cuadrado de cada número F se diferencia en 1 del producto de los dos números F situados a cada uno de sus lados. Conforme se avanza en la sucesión, esta diferencia va siendo alternativamente positiva y negativa.
• La suma de los cuadrados de dos números F consecutivos cualesquiera, F_n²+F_n+1² es F_2n+1. Puesto que el último de estos números es de subíndice forzosamente impar, resulta de este teorema que al escribir en sucesión los cuadrados de los números de Fibonacci, las sumas de los pares de cuadrados consecutivos formarán la sucesión de números de Fibonacci con subíndice impar.
• Cualesquiera cuatro números de Fibonacci consecutivos A, B, C, D verifican la siguiente identidad: C² – B² = A x D.
• La sucesión de las últimas cifras de los números de Fibonacci tiene período 60. Si se toman las dos últimas cifras, la sucesión tiene período 300. Para la sucesión formada a partir de las tres últimas cifras el período es ya 1.500; para cuatro, el período tiene 15.000 cifras; para cinco el número asciende ya a 150.000, y así sucesivamente.
• Para cada entero m hay una colección infinita de números de Fibonacci exactamente divisibles por m, de los cuales al menos uno se encuentra entre los 2m primeros términos de la sucesión.
• El tercero de cada tres números de la sucesión es divisible por 2; al contarlos de cuatro en cuatro, el cuarto es divisible por 3. El quinto de cada cinco es múltiplo de 5; el sexto de cada seis, es divisible por 8, y así sucesivamente, siendo los divisores números F en sucesión.
• A excepción del 3, todo número F que sea primo tiene subíndice primo. Dicho de otra forma, si el subíndice es compuesto, también lo será el número F correspondiente (Por ejemplo, 233 es primo y porta subíndice 13, también primo). Pero la recíproca no es cierta. Hay números de Fibonacci con subíndices primos que son números compuestos. El primer ejemplo es F₁₉ que vale 4.181, siendo éste último múltiplo de 37 y 113.
• Con las excepciones triviales de 0 y 1, tomando 0 como el elemento de subíndice 0 de la sucesión, entre los números de Fibonacci hay solamente un cuadrado perfecto, el elemento 12, que es 144, muy curioso, pues su valor es el cuadrado del subíndice.
• En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.

De manera que las series recursivas esconden un patrón que se encuentra -eso si- bastante oculto pero haberlo haylo.

Observe esta definición y veamos si está bien construida gramaticalmente y si es recursiva:

Castellón es una ciudad pequeña

¿Lo es?

Bueno, es una frase que se refiere a sí misma de una manera superficial, pero no es recursiva. Pues para ser recursiva necesitariamos encerrar Castellón en unas comillas.

«Castellón» es una ciudad pequeña.

¿Hemos ganado recursividad ahora?

No, porque  Castellón no es una ciudad sino una palabra (encerrada en comillas).

«Castellón» es una palabra trisilábica.

¿Y ahora?

Ahora si hemos construido una frase recursiva que se refiere a sí misma.

Si pongo estos ejemplos de los numeros naturales y de la gramática es para señalar en la dirección de que estamos rodeados de mensajes (de que la comunicación humana) es necesariamente equívoca, pues está construida de mensajes tan paradójicos como este:

«Castellón es una ciudad pequeña y trisilábica».

Como el lector podrá comprobar la frase anterior es incorrecta dado que en un momento determinado (en la misma frase) hay algo recursivo y algo denotativo que al mezclarse entre sí constituyen una incorrección gramatical. El problema es que no hay manera de construir esta frase de un modo correcto.

Algo parecido nos sucede cuando nos dicen:

«Defínete a ti mismo».

¿Cómo hacer eso, ¿quien soy yo? Podemos hablar de nuestros atributos, de nuestra profesión, de nuestra filiación o procedencia ¿Pero sabemos contestar a esa pregunta?

No, ni sabemos, ni podemos precisamente porque el Yo es un bucle extraño y sólo podemos recurrir a la tautología, «Yo soy yo», ese que habla y se muestra. Y no es ninguna broma porque realmente en el Yo se encuentran agazapadas todas las características del teorema de Gödel:

Yo soy indemostrable porque soy verdadero.

Los cerebros humanos son los únicos cerebros que han sido capaces de crear a lo largo de la evolución, un bucle extraño y recursivo, que puede referirse a sí mismo y que al mismo tiempo imposibilita al humano de dar una autodefinición que no sea recursiva, paradójica o redundante.

Condiciones para la emergencia de un bucle godeliano en el cerebro de un simio.-

• La existencia de semillas (o axiomas) que están garantizadas por nuestra genética que recoge, y es, un recapitulación de la filogénesis.
• Que exista realimentación, es decir un otro que opere como extremo del bucle (la madre o el criador).
• Que exista una cerebro capaz de procesar símbolos y que a su vez esos símbolos sean introducidos progresivamente desde el extremo del bucle, es decir que no exista deprivación.
• Que exista la capacidad de establecer categorías.
• Que exista la capacidad de imaginar escenarios, pasados, presentes o futuros, memoria y anticipación.
• Que exista un aparato sensorial (reentradas) capaces de decodificar los estímulos ambientales y los estímulos internos.

Entonces aparece un bucle recursivo, un Yo autoconsciente que va emergiendo poco a poco desde las semillas: desde los axiomas de la indiferenciación.

Pero ese Yo, tiene límites, y uno de esos limites es la relativa incapacidad de observarse a sí mismo.

No solamente existe este límite a la autodefinición sino que somos capaces de ignorar activamente cadenas de nuestros pensamientos que los otros Yoes pueden ver y que nosotros podemos negar. Gracias a la empatía somos capaces de conectar con los Yoes ajenos de una forma más eficaz de lo que lo hacemos con nosotros mismos. Desafortunadamente -y al mismo tiempo- nuestras hipótesis sobre los Yoes ajenos son indemostrables aunque -siguiendo el principio de Gödel- pueden ser muy coherentes (y necesariamente incompletas).

La aproximación de Gödel tiene pues muchas aplicaciones para entender eso que llamamos conciencia (El Yo), por lo que es seguro que volveré sobre este asunto alguna otra vez.

Fotografías obtenidas de esta web.