Coge el punto donde estaba la raíz cuadrada de dos y tira un segmento de longitud un medio perpendicular a la recta real. En el otro extremo del segmento pon el compás y haz una circunferencia de radio un medio. Ahora corta la circunferencia justo en el punto raíz cuadrada de dos y fija en él el extremo derecho. Coge el otro extremo y endereza la circunferencia hasta tumbarla encima de la recta real, justo a la derecha del punto raíz cuadrada de dos. El punto donde termina la circunferencia, ya depositada sobre la recta real es el punto raíz cuadrada de dos más pi.

Vaya, he visto que decías phi y no pi. No importa. Es más fácil todavía, ya que phi se puede manejar con regla y compás, sin estirar circunferencias. Traza un rectángulo con vértice en raíz cuadrada de dos de lados uno y cuatro, su diagonal será raíz cuadrada de cinco. Con el compás lleva esa distancia a la derecha de la raíz cuadrada de dos. Al punto que te da súmale uno (es fácil, hazlo con la regla o lleva la distancia del intervalo cero uno con el compás). Sólo falta dividir entre dos el segmento entre la raíz cuadrada de dos y el punto obtenido anteriormente. Esto se hace fácilmente trazando la bisectriz con el compás. El punto de corte de la bisectriz de ese segmento con el segmento será el número raíz cuadrada de dos más phi.

Nada de número cuántico, está ahí quietecito donde lo has señalado si has seguido bien mis pasos.

Justamente los números son todo lo contrario a la metafísica, puesto que son entidades bien definidas.

Si estamos de acuerdo en la definición de grano de arena y dónde empieza y acaba (en el espacio y en el tiempo) una playa, no hay ninguna inconmensurabilidad, solo una fatiga terrible en la tarea de contar los granos.

A la primera pregunta ya he contestado. Como número real sirve para medir.
A la segunda: no tengo ni idea, pero te puedo dar una aproximación en la que tendrás que perdonarme que me equivoque en varios órdenes de magnitud.
A la tercera: levanta un cuadrado sobre la recta real que tenga como lado base el intervalo [0,1]. Coge un compás y ponlo sobre el cero, lleva la otra pata del compás al vértice opuesto. Ahora gira el compás hasta que esa pata corte a la recta real. Allá donde la corta es el número raíz cuadrada de dos.

Saludos

Los números naturales sirven para contar.
Los números enteros sirven para ordenar.
Los números racionales sirven para comparar.
Los números reales sirven para medir.
Los números complejos sirven para calcular.

La raíz de menos uno no tiene sentido intuitivo si nos quedamos con la utilidad de contar o medir. La raíz de menos uno abre una nueva dimensión a los números, simplemente. Pasamos con ella de la recta real al plano complejo. Las operaciones a las que nos hemos acostumbrado en la recta real son bastante distintas en el plano complejo, aunque compatibles entre sí. Así, la multiplicación de números complejos es, en parte, una rotación en el plano complejo. Es lo que hace esa famosa raíz, y es entrenándose en ello que uno desarrolla la intuición de ese número.

Los números irracionales (reales, pero no racionales) se pueden situar perfectamente ordenados en la recta real.

Los números irracionales no son ninguna discontinuidad, antes bien, sin ellos la recta real sería discontinua.

El cerebro humano es muy malo calculando probabilidades y mucho más aplicando la regla de bayes. Es muy mal bayesiano. Sólo tenemos una estimación intuitiva de las probabilidades para situaciones muy limitadas, unas pocas más que la mayoría de los animales. Los experimentos de Kahneman y Tversky confirman esto una y otra vez.

Las luchas a muerte son una estrategia de equilibrio evolutivo cuando se ha llegado al límite de los recursos en un ecosistema dado. Si no hay recursos para sostener dos poblaciones, la lucha a muerte entre ellas es una estrategia evolutivamente estable. El control de población sería otra, pero tardaría más en implantarse en los genes. La estrategia evolutivamente estable no tiene por qué ser óptima, basta con que sea mejor respuesta frente a la de los demás. La inteligencia ha hecho que el ser humano haya agotado antes los recursos en los ecosistemas que ha ocupado. La inteligencia ha hecho también aumentar las maneras de matar a los rivales. Pero el asesinato (el león macho mata a los cachorros que no son suyos cuando se hace cargo de una manada), el exterminio (una colonia de hormigas o abejas que acaba con otra) y la guerra (entre grupos de chimpancés) ya están en la naturaleza.

La belleza de la proporción áurea ha sido, ciertamente, exagerada. Para empezar, nuestros sentidos no pueden distinguir entre una proporción áurea y una que se le parezca mucho. Para continuar, preguntados los sujetos de un experimento sobre la belleza de distintas proporciones apreciaron tanto proporciones sensiblemente distintas de la áurea tanto como proporciones en torno a ella (Skeptical Enquirer 1994).

Saludos